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- 다양한 확률분포 (2)

연속확률변수의 확률분포

1. 균등 분포(Uniform distribution)

연속확률변수 XX의 확률밀도함수 ff가 다음을 만족할 때, XX를 구간 [a,b][a,b]에서 균등 분포를 따른다고 한다. 즉, X∼Unif(a,b)X \sim Unif(a,b)
f(x)=1b−a, a<x<bf(x) = \frac{1}{b-a}, \ a<x<b
X∼Unif(a,b)X \sim Unif(a,b)의 기댓값 E(X)=b+a2\mathbb{E}(X) = \frac{b+a}{2}이고, 분산은 Var(X)=(b−a)212Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}이다.
Note. (Inverse transformation sampling) 연속확률변수 XX의 누적분포함수 FX:R→[0,1]F_X:\mathbb{R} \rightarrow [0,1]가 연속인 순증가함수이고, 두 실수 a,ba,b에 대해 FX(a)=0,FX(b)=1F_X(a)=0,F_X(b)=1이라고 하자. 그러면 FX:[a,b]→[0,1]F_X:[a,b] \rightarrow [0,1]의 역함수 FX−1:[0,1]→[a,b]F_X^{-1}: [0,1] \rightarrow [a,b]가 존재하고, U∼Unif(0,1)U \sim Unif(0,1)에 대해 확률변수 X∗=FX−1(U)X^* = F_X^{-1}(U)이다.

2. 정규 분포(Normal distribution)

연속확률변수 XX의 확률밀도함수 ff가 μ∈R, σ>0\mu \in \mathbb{R}, \ \sigma >0에 대하여 다음을 만족할 때, XX를 평균이 μ\mu이고 분산이 σ2\sigma^2인 정규 분포를 따른다고 한다. 즉, X∼N(μ,σ2)X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)
f(x)=12πσ2,exp⁡(−(x−μ)22σ2), x∈Rf(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}, \exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}), \ x\in\mathbb{R}
X∼N(μ,σ2)X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)의 기댓값 E(X)=μ\mathbb{E}(X) = \mu이고, 분산은 Var(X)=σ2Var(X) = \sigma^2이다.
Note. (정규분포의 선형성) X∼N(μ,σ2)X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)에 대해, 두 실수 a≠0, b∈Ra\neq0, \ b\in\mathbb{R}에 대하여,
aX+b∼N(aμ+b,a2σ2)aX + b \sim \mathcal{N}(a\mu+b, a^2\sigma^2)
다변량 정규분포
X∼Rn,μ∈Rn,Σ∈Rn×nX \sim \mathbb{R}^n,\mu \in \mathbb{R}^n, \Sigma\in\mathbb{R}^{n \times n}에 대해 X∼N(μ,Σ2)X\sim\mathcal{N}(\mu,\Sigma^2)라면, 결합 확률밀도함수는
f(x)=1(2π)n/2∣Σ∣exp⁡(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)), x∈Rnf(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{|\Sigma|}}\exp{(-\frac{1}{2}(x - \mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu))}, \ x\in\mathbb{R}^n
마찬가지로, A∈Rm×n,b∈RmA\in\mathbb{R}^{m \times n}, b \in \mathbb{R}^m에 대하여,
AX+b∼N(Aμ+b,AΣAT)AX + b \sim \mathcal{N}(A\mu + b, A\Sigma A^T)

3. 지수 분포(Exponential distribution)

연속확률변수 XX의 확률밀도함수 ff가 λ>0\lambda >0에 대하여 다음을 만족할 때, XX를 모수가 λ\lambda인 지수 분포를 따른다고 한다. 즉, X∼Exp(λ)X \sim Exp(\lambda)
f(x)=λe−λx, x>0f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \ x>0
X∼Exp(λ)X \sim Exp(\lambda)의 기댓값 E(X)=1λ\mathbb{E}(X) = \frac{1}{\lambda}이고, 분산은 Var(X)=1λ2Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}이다.
Note. 생존함수(survival function) S(x)=P(X>x)S(x) = P(X>x): X∼Exp(λ)X \sim Exp(\lambda)의 누적분포함수 FXF_X라 하면, x≥0x\geq0에 대해 P(X>x)=1−FX(x)=e−λxP(X>x) = 1-F_X(x) = e^{-\lambda x}
지수분포의 무기억성
X∼Exp(λ)X \sim Exp(\lambda)와 임의의 s,t>0s,t>0에 대하여 P(X>s+t∣X>t)=P(X>s)P(X>s+t|X>t) = P(X>s)이다.

4. 감마 분포(Gamma distribution)

연속확률변수 XX의 확률밀도함수 ff가 α,λ>0\alpha, \lambda >0에 대해 다음을 만족할 때, XX를 모수가 (α,λ)(\alpha, \lambda)인 감마 분포를 따른다고 한다. 즉, X∼Gamma(α,λ)X \sim Gamma(\alpha,\lambda)
f(x)=λαΓ(α)xα−1e−λx, x>0f(x) = \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}, \ x>0
X∼Γ(α,λ)X \sim \Gamma(\alpha,\lambda)의 기댓값 E(X)=αλ\mathbb{E}(X) = \frac{\alpha}{\lambda}이고, 분산은 Var(X)=αλ2Var(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}이다.
Note. 감마함수(gamma function) Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx, α>0\Gamma(\alpha) = \int_0^{\infin}x^{\alpha-1}e^{-x}dx, \ \alpha >0
양의 정수 nn에 대하여 Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!이고, Γ(1)=1\Gamma(1)=1, Γ(12)=π\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}이다.
카이제곱 분포(χ2\chi^2-distribution)
자연수 nn에 대해, 모수가 (n2,12)(\frac{n}{2},\frac{1}{2})인 감마분포를 자유도가 nn인 카이제곱 분포라고 한다.
즉, X∼χ2(n)X \sim \chi^2(n)의 확률밀도함수 ff는 다음과 같다.
f(x)=(1/2)n/2Γ(n/2)xn2−1e−x2, x>0f(x) = \frac{(1/2)^{n/2}}{\Gamma(n/2)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, \ x>0
Z1,...,Zn∼N(0,1), X∼χ2(n)Z_1,...,Z_n \sim \mathcal{N}(0,1), \ X \sim \chi^2(n)에 대하여, X=∑i=1nZi2X = \sum_{i=1}^n Z_i^2이다.