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- 통계적 가설검정 (3)

통계적 가설검정의 예시

다양한 상황에서의 통계적 가설검정 방법을 알아보자.

모분산이 알려진 정규모집단에서의 모평균에 대한 가설검정

모분산이 알려진 정규모집단의 경우 표준 정규분포를 사용하여 모평균에 대한 검정을 실시하고 이를 Z-검정 도는 정규검정이라고 한다.
1.
가설 설정:
•
귀무가설(H0): 모집단의 평균 μ는 특정 값 μ0와 같다. 예: μ=μ0
•
대립가설(H1): 모집단의 평균 μ는 특정 값 μ0와 다르다(양측 검정), 크다(우측 검정), 작다(좌측 검정). 예: μ≠\neqμ0, μ>μ0, 또는 μ<μ0
2.
검정 통계량 계산:
•
Xˉ\bar{X}는 표본 평균, σ2\sigma^2은 모분산, n은 표본 크기이다. 귀무가설이 참일 때,
z=Xˉ−μ0σ/n∼N(0,1)z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)
3.
유의수준 설정: 일반적으로 0.05 또는 0.01을 사용
4.
기각역 설정:
•
우측검정의 기각역: z>zαz > z_{\alpha}
•
좌검정의 기각역: z<−zαz < -z_{\alpha}
•
우측검정의 기각역: ∣z∣>zα/2|z| > z_{\alpha/2}

모분산이 알려지지 않은 정규모집단에서의 모평균에 대한 가설검정

모분산이 알려져 있지 않을 때 정규모집단의 가설검정을 수행하기 위해서는 일반적으로 t-분포를 사용한다. t-분포는 모분산이 알려져 있지 않고 표본 크기가 작을 때(보통 n < 30), 정규분포 대신 사용된. 이 경우, 단일 표본 t-검정(one-sample t-test)라고 한다.
1.
가설 설정:
•
귀무가설(H0): 모집단의 평균 μ는 특정 값 μ0와 같다. 예: μ=μ0
•
대립가설(H1): 모집단의 평균 μ는 특정 값 μ0와 다르다(양측 검정), 크다(우측 검정), 작다(좌측 검정). 예: μ≠\neqμ0, μ>μ0, 또는 μ<μ0
2.
검정 통계량 계산:
•
Xˉ\bar{X}는 표본 평균, SS는 표본 표준편차, n은 표본 크기이다. 귀무가설이 참일 때,
t=Xˉ−μ0S/n∼t(n−1)t= \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)
3.
유의수준 설정: 일반적으로 0.05 또는 0.01을 사용
4.
기각역 설정:
•
우측검정의 기각역: t>tα(n−1)t > t_{\alpha}(n-1)
•
좌검정의 기각역: t<−tα(n−1)t < - t_{\alpha}(n-1)
•
우측검정의 기각역: ∣t∣>tα/2(n−1)|t| > t_{\alpha/2}(n-1)

모분산이 알려지지 않은 비정규모집단에서의 모평균에 대한 가설검정

모분산이 알려지지 않은 비정규모집단의 경우 검정통계량은 표본의 크기 nn이 충분히 클 때, 중심극한정리를 이용하여 근사적으로 검정을 실시한다.
1.
가설 설정:
•
귀무가설(H0): 모집단의 평균 μ는 특정 값 μ0와 같다. 예: μ=μ0
•
대립가설(H1): 모집단의 평균 μ는 특정 값 μ0와 다르다(양측 검정), 크다(우측 검정), 작다(좌측 검정). 예: μ≠\neqμ0, μ>μ0, 또는 μ<μ0
2.
검정 통계량 계산:
•
Xˉ\bar{X}는 표본 평균, σ2\sigma^2은 모분산, n은 표본 크기이다. 귀무가설이 참일 때, 다음 통계량은 근사적으로 표본 정규분포를 따른다.
z=Xˉ−μ0σ/nz = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
3.
유의수준 설정: 일반적으로 0.05 또는 0.01을 사용
4.
기각역 설정:
•
우측검정의 기각역: z>zαz > z_{\alpha}
•
좌검정의 기각역: z<−zαz < -z_{\alpha}
•
우측검정의 기각역: ∣z∣>zα/2|z| > z_{\alpha/2}

정규모집단에서 모분산에 대한 가설 검정

모평균, 모분산이 알려지지 않은 정규모집단 N(μ,σ2)\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)에서 모분산에 대한 가설검정은 카이 제곱 분포를 활용하여 검정을 진행한다.
1.
가설 설정:
•
귀무가설(H0): 모분산 σ\sigma는 특정 값 σ0\sigma_0와 같다. 예: σ2=σ02\sigma^2 = \sigma^2_0
•
대립가설(H1): 모분산 σ\sigma는 특정 값 σ0\sigma_0와 다르다(양측 검정), 크다(우측 검정), 작다(좌측 검정). 예: σ2≠σ02\sigma^2 \neq \sigma_0^2,σ2>σ02\sigma^2 > \sigma_0^2, 또는 σ2<σ02\sigma^2 < \sigma_0^2
2.
검정 통계량 계산: 귀무가설이 참일 때,
V=(n−1)S2σ02∼χ2(n−1)V = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)
3.
유의수준 설정: 일반적으로 0.05 또는 0.01을 사용
4.
기각역 설정:
•
우측검정의 기각역: V>χα2(n−1)V > \chi_{\alpha}^2(n-1)
•
좌검정의 기각역: V<χ1−α2(n−1)V < \chi_{1-\alpha}^2(n-1)
•
우측검정의 기각역: V>χα/22(n−1)V > \chi_{\alpha/2}^2(n-1) 또는 V<χ1−α/22(n−1)V < \chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)