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- 카이제곱, t분포, f분포와 표본추출, 통계적 추청

통계적 가설검정의 예시

다양한 상황에서의 통계적 가설검정 방법을 알아보자.

모분산이 알려진 정규모집단에서의 모평균에 대한 가설검정

모분산이 알려진 정규모집단의 경우 표준 정규분포를 사용하여 모평균에 대한 검정을 실시하고 이를 Z-검정 도는 정규검정이라고 한다.
1.
가설 설정:
•
귀무가설(H0): 모집단의 평균 μ는 특정 값 μ0와 같다. 예: μ=μ0
•
대립가설(H1): 모집단의 평균 μ는 특정 값 μ0와 다르다(양측 검정), 크다(우측 검정), 작다(좌측 검정). 예: μ≠\neqμ0, μ>μ0, 또는 μ<μ0
2.
검정 통계량 계산:
•
Xˉ\bar{X}는 표본 평균, σ2\sigma^2은 모분산, n은 표본 크기이다. 귀무가설이 참일 때,
z=Xˉ−μ0σ/n∼N(0,1)z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)
3.
유의수준 설정: 일반적으로 0.05 또는 0.01을 사용
4.
기각역 설정:
•
우측검정의 기각역: z>zαz > z_{\alpha}
•
좌검정의 기각역: z<−zαz < -z_{\alpha}
•
우측검정의 기각역: ∣z∣>zα/2|z| > z_{\alpha/2}

모분산이 알려지지 않은 정규모집단에서의 모평균에 대한 가설검정

모분산이 알려져 있지 않을 때 정규모집단의 가설검정을 수행하기 위해서는 일반적으로 t-분포를 사용한다. t-분포는 모분산이 알려져 있지 않고 표본 크기가 작을 때(보통 n < 30), 정규분포 대신 사용된. 이 경우, 단일 표본 t-검정(one-sample t-test)라고 한다.
1.
가설 설정:
•
귀무가설(H0): 모집단의 평균 μ는 특정 값 μ0와 같다. 예: μ=μ0
•
대립가설(H1): 모집단의 평균 μ는 특정 값 μ0와 다르다(양측 검정), 크다(우측 검정), 작다(좌측 검정). 예: μ≠\neqμ0, μ>μ0, 또는 μ<μ0
2.
검정 통계량 계산:
•
Xˉ\bar{X}는 표본 평균, SS는 표본 표준편차, n은 표본 크기이다. 귀무가설이 참일 때,
t=Xˉ−μ0S/n∼t(n−1)t= \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)
3.
유의수준 설정: 일반적으로 0.05 또는 0.01을 사용
4.
기각역 설정:
•
우측검정의 기각역: t>tα(n−1)t > t_{\alpha}(n-1)
•
좌검정의 기각역: t<−tα(n−1)t < - t_{\alpha}(n-1)
•
우측검정의 기각역: ∣t∣>tα/2(n−1)|t| > t_{\alpha/2}(n-1)

모분산이 알려지지 않은 비정규모집단에서의 모평균에 대한 가설검정

모분산이 알려지지 않은 비정규모집단의 경우 검정통계량은 표본의 크기 nn이 충분히 클 때, 중심극한정리를 이용하여 근사적으로 검정을 실시한다.
1.
가설 설정:
•
귀무가설(H0): 모집단의 평균 μ는 특정 값 μ0와 같다. 예: μ=μ0
•
대립가설(H1): 모집단의 평균 μ는 특정 값 μ0와 다르다(양측 검정), 크다(우측 검정), 작다(좌측 검정). 예: μ≠\neqμ0, μ>μ0, 또는 μ<μ0
2.
검정 통계량 계산:
•
Xˉ\bar{X}는 표본 평균, σ2\sigma^2은 모분산, n은 표본 크기이다. 귀무가설이 참일 때, 다음 통계량은 근사적으로 표본 정규분포를 따른다.
z=Xˉ−μ0σ/nz = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
3.
유의수준 설정: 일반적으로 0.05 또는 0.01을 사용
4.
기각역 설정:
•
우측검정의 기각역: z>zαz > z_{\alpha}
•
좌검정의 기각역: z<−zαz < -z_{\alpha}
•
우측검정의 기각역: ∣z∣>zα/2|z| > z_{\alpha/2}

정규모집단에서 모분산에 대한 가설 검정

모평균, 모분산이 알려지지 않은 정규모집단 N(μ,σ2)\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)에서 모분산에 대한 가설검정은 카이 제곱 분포를 활용하여 검정을 진행한다.
1.
가설 설정:
•
귀무가설(H0): 모분산 σ\sigma는 특정 값 σ0\sigma_0와 같다. 예: σ2=σ02\sigma^2 = \sigma^2_0
•
대립가설(H1): 모분산 σ\sigma는 특정 값 σ0\sigma_0와 다르다(양측 검정), 크다(우측 검정), 작다(좌측 검정). 예: σ2≠σ02\sigma^2 \neq \sigma_0^2,σ2>σ02\sigma^2 > \sigma_0^2, 또는 σ2<σ02\sigma^2 < \sigma_0^2
2.
검정 통계량 계산: 귀무가설이 참일 때,
V=(n−1)S2σ02∼χ2(n−1)V = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)
3.
유의수준 설정: 일반적으로 0.05 또는 0.01을 사용
4.
기각역 설정:
•
우측검정의 기각역: V>χα2(n−1)V > \chi_{\alpha}^2(n-1)
•
좌검정의 기각역: V<χ1−α2(n−1)V < \chi_{1-\alpha}^2(n-1)
•
우측검정의 기각역: V>χα/22(n−1)V > \chi_{\alpha/2}^2(n-1) 또는 V<χ1−α/22(n−1)V < \chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)