- 통계 기반 분석 (1, T-test 등)

T-test의 종류

두 모집단의 데이터의 수가 충분히 크거나 정규분포를 따를 때, 두 모평균을 비교하는 검정방법들은 다음과 같다.

graph TD
  A(두 집단에 대한 데이터) -- 두 집단이 독립적으로 관측--> B[모분산]
  A(두 집단에 대한 데이터) -- 두 집단이 쌍을 이루어 관측--> C[D=X-Y]
	B[모분산] -- 알려진 경우 --> D[Z-test]
  B[모분산] -- 알려지지 않은 경우 --> E[분산 동일성 검정]
	C[D=X-Y] --> F[한 집단에 대한 모평균 검정]
  E[분산 동일성 검정] -- 등분산인 경우 --> G[합동분산 이용 T-test]
  E[분산 동일성 검정] -- 등분산이 아닌 경우 --> H[자유도 근사 T-test]
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독립인 두 모분산이 알려져 있는 정규 모집단

서로 독립이고 샘플의 수가 각각

n_1,n_2

인 두 표본

X,Y

가 각각

X \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma^2_1), \ Y \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma^2_2)

를 따르면, 두 표본평균의 차

\bar{X} - \bar{Y} \sim \mathcal{N}(\mu_1-\mu_2, \frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2})

를 따른다.

두 모평균의 차에 대한 신뢰구간

Z = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}} \sim \mathcal{N}(0,1)

두 모평균의 차

\mu_1 - \mu_2

에 대한

100(1-\alpha)

% 신뢰구간은 다음과 같다.

\left[ (\bar{X} - \bar{Y}) - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}, (\bar{X} - \bar{Y}) + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}} \right]

검정통계량

귀무가설

H_0: \mu_1-\mu_2 = \delta_0

이 참일 때,

Z_0 = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - \delta_0}{\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}} \sim \mathcal{N}(0,1)

우측검정(

H_1 : \mu_1 - \mu_2 > \delta_0)

에서의 기각역:

z_0 > z_{\alpha}

좌측검정(

H_1 : \mu_1 - \mu_2 < \delta_0)

에서의 기각역:

z_0 < -z_{\alpha}

양측검정(

H_1 : \mu_1 - \mu_2 \neq \delta_0)

에서의 기각역:

|z_0| > z_{\alpha/2}

합동 분산 T-test

서로 독립이고 샘플의 수가 각각

n_1,n_2

인 두 표본

X,Y

가 각각

X \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma^2_1), \ Y \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma^2_2)

를 따르고, 분산이 같을 경우 공통 모분산의 불편추정량인

S_p

를 사용한다.

\begin{align*} S_p^2 &= \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2} \\ T &= \frac{\bar{X} - \bar{Y} - (\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2-2) \end{align*}

두 모평균의 차에 대한 신뢰구간

두 모평균의 차

\mu_1 - \mu_2

에 대한

100(1-\alpha)

% 신뢰구간은 다음과 같다.

(\bar{X} - \bar{Y}) \pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1_2}{n_2}}

검정통계량

귀무가설

H_0: \mu_1-\mu_2 = \delta_0

이 참일 때,

T_0 = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - \delta_0}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2-2)

우측검정(

H_1 : \mu_1 - \mu_2 > \delta_0)

에서의 기각역:

t_0 > t_{\alpha}(n_1+n_2-2)

좌측검정(

H_1 : \mu_1 - \mu_2 < \delta_0)

에서의 기각역:

t_0 < -t_{\alpha}(n_1+n_2-2)

양측검정(

H_1 : \mu_1 - \mu_2 \neq \delta_0)

에서의 기각역:

|t_0| > t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)

자유도 근사 T-test

서로 독립이고 샘플의 수가 각각

n_1,n_2

인 두 표본

X,Y

가 각각

X \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma^2_1), \ Y \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma^2_2)

를 따를 경우 아래와 같이 자유도 근사를 통해 자유도

v

를 구한다.

v = \frac{(S_1^2/n_1 + S_2^2/n_2)^2}{(S_1^2/n_1)^2/(n_1-1) +(S_2^2/n_2)^2/(n_2-1)}

다음 통계량

T

는 근사적으로 자유도가

v

인 t-분포를 따른다.

T = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}

두 모평균의 차에 대한 신뢰구간

두 모평균의 차

\mu_1 - \mu_2

에 대한

100(1-\alpha)

% 신뢰구간은 다음과 같다.

(\bar{X} - \bar{Y}) \pm t_{\alpha/2}(v)\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}

검정통계량

귀무가설

H_0: \mu_1-\mu_2 = \delta_0

이 참일 때, 다음 통계량은 근사적으로 자유도가

v

인 t-분포를 따른다.

T_0 = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - \delta_0}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}

우측검정(

H_1 : \mu_1 - \mu_2 > \delta_0)

에서의 기각역:

t_0 > t_{\alpha}(v)

좌측검정(

H_1 : \mu_1 - \mu_2 < \delta_0)

에서의 기각역:

t_0 < -t_{\alpha}(v)

양측검정(

H_1 : \mu_1 - \mu_2 \neq \delta_0)

에서의 기각역:

|t_0| > t_{\alpha/2}(v)